直角を挟む2辺の長さの和が20cmである直角三角形の面積 $y$ cm$^2$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

直角を挟む2辺の長さの和が20cmである直角三角形の面積 $y$ cm$^2$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

直角を挟む2辺の長さをそれぞれ $x$ cm, $(20-x)$ cm とすると、$x>0$ かつ $20-x>0$ より $0<x<20$ である。

この直角三角形の面積 $y$ は、

$y = \frac{1}{2}x(20-x) = \frac{1}{2}(20x-x^2) = -\frac{1}{2}x^2 + 10x$

これを平方完成すると、

$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 20x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 20x + 100 - 100) = -\frac{1}{2}((x-10)^2 - 100) = -\frac{1}{2}(x-10)^2 + 50$

したがって、$y$ は $x=10$ のとき最大値 50 をとる。

$0<x<20$ を満たし、$x=10$ なので問題ない。

3. 最終的な答え

50 cm$^2$