(1) 縦 $5x$ cm、横 $2x$ cmの長方形の紙が8枚ある。図ア、イのように並べたとき、色のついた部分の面積が大きいのはどちらで、何 cm$^2$大きいか。 (2) 右の図のように、一辺の長さが $a$ cmの正方形と、その一辺を直径とする半円を組み合わせた図形がある。弧CDの中点をMとする。色のついた部分の面積を、$a$を使った式で表す。円周率は$\pi$とする。

1. 問題の内容

(1) 縦 $5x$ cm、横 $2x$ cmの長方形の紙が8枚ある。図ア、イのように並べたとき、色のついた部分の面積が大きいのはどちらで、何 cm$^2$大きいか。

(2) 右の図のように、一辺の長さが $a$ cmの正方形と、その一辺を直径とする半円を組み合わせた図形がある。弧CDの中点をMとする。色のついた部分の面積を、$a$を使った式で表す。円周率は$\pi$とする。

2. 解き方の手順

(1)

アの場合：

色のついた部分は、縦 $5x$ cm、横 $2x$ cmの長方形である。

面積は $5x \times 2x = 10x^2$ cm$^2$。

長方形が8枚なので、色のついた部分の面積は $10x^2 \times 8 = 80x^2$ cm$^2$。

イの場合：

色のついた部分は、縦 $2x$ cm、横 $5x$ cmの長方形である。

面積は $2x \times 5x = 10x^2$ cm$^2$。

長方形が8枚なので、色のついた部分の面積は $10x^2 \times 8 = 80x^2$ cm$^2$。

アとイの面積の差は $80x^2 - 80x^2 = 0$ cm$^2$。

よって、アとイの面積は同じ。

(2)

色のついた部分は、正方形の面積から半円の面積を引いたものである。

正方形の面積は、$a \times a = a^2$ cm$^2$。

半円の半径は $a/2$ cmなので、半円の面積は $\pi \times (a/2)^2 \div 2 = \pi \times a^2/4 \div 2 = \pi a^2 / 8$ cm$^2$。

色のついた部分の面積は $a^2 - \pi a^2 / 8 = (8a^2 - \pi a^2) / 8 = (8-\pi)a^2 / 8$ cm$^2$。

3. 最終的な答え

(1) アとイの面積は同じで、差は0 cm$^2$

(2) $\frac{(8-\pi)a^2}{8}$ cm$^2$