平行四辺形ABCDにおいて、Aから辺BCへ下ろした垂線をAHとし、AC=2, BC=3、平行四辺形ABCDの面積が $3\sqrt{3}$ であるとき、以下の値を求める問題です。 (1) 線分AHの長さ (2) ∠BCAの大きさ (3) 線分BDの長さ

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、Aから辺BCへ下ろした垂線をAHとし、AC=2, BC=3、平行四辺形ABCDの面積が $3\sqrt{3}$ であるとき、以下の値を求める問題です。

(1) 線分AHの長さ

(2) ∠BCAの大きさ

(3) 線分BDの長さ

2. 解き方の手順

(1) 線分AHの長さ

平行四辺形の面積は、底辺×高さで求められます。

平行四辺形ABCDの面積は $3\sqrt{3}$ であり、底辺BCの長さは3なので、

$BC \times AH = 3\sqrt{3}$

$3 \times AH = 3\sqrt{3}$

$AH = \sqrt{3}$

(2) ∠BCAの大きさ

△AHCにおいて、$\angle AHC = 90^{\circ}$ であり、$AC = 2$、$AH = \sqrt{3}$ である。

$\sin{\angle BCA} = \frac{AH}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$\angle BCA = 60^{\circ}$

(3) 線分BDの長さ

$\angle BCA = 60^{\circ}$ なので、$\angle BCD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$

平行四辺形なので $AB = CD$

$\triangle BCD$ において、余弦定理より、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \times BC \times CD \times \cos{\angle BCD}$

平行四辺形なので $AB=CD$である。

$\triangle ABC$ において、余弦定理より、$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \times AC \times BC \times \cos{\angle BCA}$

$AB^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \times 2 \times 3 \times \cos{60^{\circ}}$

$AB^2 = 4 + 9 - 12 \times \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7$

よって $CD = AB = \sqrt{7}$

$BD^2 = 3^2 + (\sqrt{7})^2 - 2 \times 3 \times \sqrt{7} \times \cos{120^{\circ}}$

$BD^2 = 9 + 7 - 6\sqrt{7} \times (-\frac{1}{2})$

$BD^2 = 16 + 3\sqrt{7}$

$BD = \sqrt{16 + 3\sqrt{7}}$

3. 最終的な答え

(1) 線分AHの長さ: $\sqrt{3}$

(2) ∠BCAの大きさ: $60^{\circ}$

(3) 線分BDの長さ: $\sqrt{16 + 3\sqrt{7}}$