平行四辺形ABCDにおいて、Aから辺BCへ下ろした垂線をAHとする。AC = 2, BC = 3 であり、平行四辺形ABCDの面積が $3\sqrt{3}$ であるとき、以下の値を求める。 (1) 線分AHの長さ (2) 角BCAの大きさ (3) 線分BDの長さ

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、Aから辺BCへ下ろした垂線をAHとする。AC = 2, BC = 3 であり、平行四辺形ABCDの面積が $3\sqrt{3}$ であるとき、以下の値を求める。

(1) 線分AHの長さ

(2) 角BCAの大きさ

(3) 線分BDの長さ

2. 解き方の手順

(1) 線分AHの長さ

平行四辺形ABCDの面積は、底辺BCと高さAHの積で表される。

したがって、 $BC \times AH = 3\sqrt{3}$ である。

$BC = 3$ であるから、$3 \times AH = 3\sqrt{3}$ となる。

よって、$AH = \sqrt{3}$。

(2) 角BCAの大きさ

三角形AHCにおいて、$\sin(\angle BCA) = \frac{AH}{AC}$である。

$AH = \sqrt{3}$、$AC = 2$であるから、$\sin(\angle BCA) = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

よって、$\angle BCA = 60^{\circ}$。

(3) 線分BDの長さ

余弦定理を用いて三角形ABCの辺ABの長さを求める。

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \times AC \times BC \times \cos(\angle BCA)$

$\cos(\angle BCA) = \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$であるから、

$AB^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \times 2 \times 3 \times \frac{1}{2} = 4 + 9 - 6 = 7$

よって、$AB = \sqrt{7}$。

平行四辺形の性質より、AD = BC = 3 である。

また、$\angle ABC = 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$

余弦定理を用いて三角形ABDの辺BDの長さを求める。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \times AB \times AD \times \cos(\angle BAD)$

$\angle BAD = 180^{\circ} - \angle ABC = 60^{\circ}$となるので$\angle BAD = 60^{\circ}$とすると、$\angle BCD=120^{\circ}$

$\angle ABC + \angle BCD = 180^{\circ}$であるから、$\angle ABC=120^{\circ}$となる。

したがって、$\cos(\angle ABC) = \cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}$

$BD^2 = (\sqrt{7})^2 + 3^2 - 2 \times \sqrt{7} \times 3 \times \cos(120^{\circ})$

$= 7 + 9 - 6\sqrt{7} \times (-\frac{1}{2}) = 16 + 3\sqrt{7}$

$BD = \sqrt{16 + 3\sqrt{7}}$

平行四辺形の対角の和は180度より

$\angle BAC = 180 - 60 = 120$

$\angle ABC = 180 - \angle BAC = 180 - 60 =120$

3. 最終的な答え

(1) 線分AHの長さ: $\sqrt{3}$

(2) 角BCAの大きさ: $60^{\circ}$

(3) 線分BDの長さ: $\sqrt{16 + 3\sqrt{7}}$