2つの関数 $y = x - 2$ と $y = \frac{1}{2}x + 4$ のグラフに関する問題です。 (1) 2直線の交点Aの座標を求めます。 (2) 点C (x座標が4で $y = \frac{1}{2}x + 4$ 上にある点) を通り、直線 $y = x - 2$ に平行な直線CDの式を求めます。 (3) 線分AB上に点Pをとり、直線CPが四角形CDBAの面積を二等分するようにします。このとき、点Pの座標を求めます。

1. 問題の内容

2つの関数 $y = x - 2$ と $y = \frac{1}{2}x + 4$ のグラフに関する問題です。

(1) 2直線の交点Aの座標を求めます。

(2) 点C (x座標が4で $y = \frac{1}{2}x + 4$ 上にある点) を通り、直線 $y = x - 2$ に平行な直線CDの式を求めます。

(3) 線分AB上に点Pをとり、直線CPが四角形CDBAの面積を二等分するようにします。このとき、点Pの座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの座標を求める。

2つの直線の交点の座標は、連立方程式を解くことで求められます。

$y = x - 2$

$y = \frac{1}{2}x + 4$

これらを連立させて解きます。

$x - 2 = \frac{1}{2}x + 4$

$\frac{1}{2}x = 6$

$x = 12$

$y = 12 - 2 = 10$

したがって、点Aの座標は $(12, 10)$ です。

(2) 直線CDの式を求める。

点Cは $y = \frac{1}{2}x + 4$ 上にあり、$x = 4$ なので、

$y = \frac{1}{2}(4) + 4 = 2 + 4 = 6$

よって、点Cの座標は $(4, 6)$ です。

直線CDは、$y = x - 2$ に平行なので、傾きは1です。したがって、直線CDの式は $y = x + b$ と表せます。点C $(4, 6)$ を通るので、

$6 = 4 + b$

$b = 2$

したがって、直線CDの式は $y = x + 2$ です。

(3) 点Pの座標を求める。

点Bは直線 $y = x - 2$ と $y$ 軸との交点なので、$x = 0$ を代入すると $y = 0 - 2 = -2$。点Bの座標は $(0, -2)$ です。

直線ABの式は、2点A $(12, 10)$ と B $(0, -2)$ を通る直線なので、

傾きは $\frac{10 - (-2)}{12 - 0} = \frac{12}{12} = 1$

y切片は -2 なので、直線ABの式は $y = x - 2$ です。

点Dは直線CD ($y = x + 2$) と $y$軸との交点なので、$x = 0$ を代入すると $y = 0 + 2 = 2$。点Dの座標は $(0, 2)$ です。

四角形CDBAの面積を求めます。四角形CDBAは台形であり、上底はDB, 下底はCA, 高さは$x$座標の差です。

$DB = 2 - (-2) = 4$

$CA = 12 - 4 = 8$

$CA$の$y$座標の差は、$10 - 6 = 4$

台形の高さはAとCの$x$座標の差なので、$12-4 = 8$。

台形CDBAの面積は $\frac{1}{2} (DB + CA)*h$

$DB=2-(-2) = 4$

$CA= 10 - (\frac{1}{2}(12) + 4) = 10-10 = 0$

台形CDABの面積 = (上底+下底)*高さ/2 = (DB+AC) * h /2

$P(x, x-2)$とする。点Pは線分AB上にあるので、$x-2$

三角形CDPの面積 = 台形CDABの面積/2

P,Cの$x$座標の差は$x-4$

P,Cの$y$座標の差は$x-2-6 = x-8$

$P(x, x-2)$

三角形PCDの面積 = $(x-4) (x) = 32$

直線ABの式は $y = x - 2$。点PはAB上にあるので、$P(p, p-2)$ とおける。

直線CPが四角形CDBAの面積を二等分するということは、三角形CPAの面積が四角形CDBAの面積の半分になるということです。

四角形CDBAの面積を直接計算するのは難しいので、他に良い方法がないか検討します。

三角形CDPの面積が台形CDBAの面積の半分になる、という方が計算しやすいかもしれません。

3. 最終的な答え

(1) A(12, 10)

(2) $y = x + 2$

(3) P(該当なし)