2つの直線 $y = x - 2$ (①) と $y = \frac{1}{2}x + 4$ (②) が与えられています。点Aは①と②の交点、点Bは①とy軸の交点、点Cは②上の点でx座標が4、点Dは点Cを通り①に平行な直線とy軸との交点です。 (1) 点Aの座標を求める。 (2) 直線CDの式を求める。 (3) 線分AB上に点Pをとり、直線CPが四角形CDBAの面積を二等分するように点Pの座標を求める。

1. 問題の内容

2つの直線 $y = x - 2$ (①) と $y = \frac{1}{2}x + 4$ (②) が与えられています。点Aは①と②の交点、点Bは①とy軸の交点、点Cは②上の点でx座標が4、点Dは点Cを通り①に平行な直線とy軸との交点です。

(1) 点Aの座標を求める。

(2) 直線CDの式を求める。

(3) 線分AB上に点Pをとり、直線CPが四角形CDBAの面積を二等分するように点Pの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの座標を求める

点Aは2つの直線の交点なので、連立方程式を解きます。

$y = x - 2$

$y = \frac{1}{2}x + 4$

$x - 2 = \frac{1}{2}x + 4$

$\frac{1}{2}x = 6$

$x = 12$

$y = 12 - 2 = 10$

よって、点Aの座標は(12, 10)です。

(2) 直線CDの式を求める

点Cは直線②上の点でx座標が4なので、

$y = \frac{1}{2}(4) + 4 = 2 + 4 = 6$

点Cの座標は(4, 6)です。

直線CDは直線①に平行なので、傾きは1です。

よって、直線CDの式は $y = x + b$ と表せます。

点C(4, 6)を通るので、 $6 = 4 + b$ より $b = 2$

よって、直線CDの式は $y = x + 2$ です。

(3) 点Pの座標を求める

点Bは直線①とy軸の交点なので、 $x = 0$ を代入すると、 $y = 0 - 2 = -2$

よって、点Bの座標は(0, -2)です。

点Dは直線CDとy軸の交点なので、$x=0$を $y=x+2$ に代入すると$y=0+2=2$

よって、点Dの座標は(0, 2)です。

四角形CDBAの面積は、台形CDBAの面積として計算できます。

CD = 4

AB = 12

Cのy座標 - Dのy座標 = 6 - 2 = 4

Aのy座標 - Bのy座標 = 10 - (-2) = 12

台形CDBAの面積 = (CD+AB) * (AとCの間のx座標の差) / 2 = ($4+12$) * 4 /2 = $16 *4 /2$ = 32

CPによって分割される面積は32/2 =

1

6. 点Pの座標を (x, x-2)とおくと、三角形CDPの面積は台形CDBAの面積の半分である必要がある。

三角形CDPの面積 = 16

C(4,6), D(0,2), P(x, x-2)

面積の公式を使うと、

面積 = (1/2)|(4(2-(x-2)) + 0((x-2)-6) + x(6-2))|

= (1/2)|(4(4-x) + 0 + 4x)|

= (1/2)|(16 - 4x + 4x)|

= (1/2)|16| = 8

三角形CDPの面積は８なので、16にはならない。

直線ABの方程式を求める。

2点A(12,10), B(0,-2)を通るので、

傾き = (10-(-2))/(12-0) = 12/12 = 1

$y = x + b$

-2 = 0 + b より b = -2

したがって、直線ABは $y = x - 2$

四角形CDBAの面積 = 32

点Pの座標を(p, p-2)と置く。

三角形CDPの面積 = (1/2)*底辺CD*高さ(CDと点Pとの距離)

面積が１６になればよい。

点と直線の距離の公式を使えばできるかもしれない

CD: y=x+2 --> x - y + 2 = 0

(p,p-2)と直線の距離をdとおくと

d = | p - (p-2) + 2 | / √(1^2 + (-1)^2) = | p - p + 2 + 2| / √2 = 4/√2 = 2√2

CDの長さ = 4√2

三角形CDPの面積 = (1/2) * CD * d = (1/2) * 4√2 * 2√2 = 8

これは三角形CDBの面積と等しく、直線CPは四角形CDBAを2等分できない。計算間違えている可能性が高い。

3. 最終的な答え

(1) A(12, 10)

(2) y = x + 2

(3) 計算に誤りがあるため再計算必要。