三角形ABCにおいて、AB = 8, BC = 6, AC = 4である。角Aの内角の二等分線と辺BCとの交点をD、角Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をEとする。線分BDの長さと線分BEの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB = 8, BC = 6, AC = 4である。角Aの内角の二等分線と辺BCとの交点をD、角Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をEとする。線分BDの長さと線分BEの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分BDの長さを求める。

角の二等分線の定理より、

$AB : AC = BD : DC$

$8 : 4 = BD : DC$

$2 : 1 = BD : DC$

$BD = x$とすると、$DC = 6 - x$なので、

$x : (6 - x) = 2 : 1$

$x = 2(6 - x)$

$x = 12 - 2x$

$3x = 12$

$x = 4$

したがって、$BD = 4$

(2) 線分BEの長さを求める。

角の二等分線の定理より、

$AB : AC = BE : CE$

$8 : 4 = BE : CE$

$2 : 1 = BE : CE$

$BE = y$とすると、$CE = BE - BC = y - 6$なので、

$y : (y - 6) = 2 : 1$

$y = 2(y - 6)$

$y = 2y - 12$

$y = 12$

したがって、$BE = 12$

3. 最終的な答え

(1) 線分BDの長さ: 4

(2) 線分BEの長さ: 12