正方形ABCDがあり、一辺の長さは10cmです。点PとQは点Aを同時に出発します。Pは辺AB上を毎秒1cmの速さで点Bまで進み、Qは辺AB, BC上を毎秒2cmの速さで点Cまで進みます。 (1) P, Qが点Aを出発してからx秒後の線分BQの長さをxの式で表してください。（ただし、Qは辺BC上にあるものとします。） (2) Qが辺BC上にあるとき、三角形BQPの面積が5 cm^2になるのは、P, Qが点Aを出発してから何秒後か求めてください。

1. 問題の内容

正方形ABCDがあり、一辺の長さは10cmです。点PとQは点Aを同時に出発します。Pは辺AB上を毎秒1cmの速さで点Bまで進み、Qは辺AB, BC上を毎秒2cmの速さで点Cまで進みます。

(1) P, Qが点Aを出発してからx秒後の線分BQの長さをxの式で表してください。（ただし、Qは辺BC上にあるものとします。）

(2) Qが辺BC上にあるとき、三角形BQPの面積が5 cm^2になるのは、P, Qが点Aを出発してから何秒後か求めてください。

2. 解き方の手順

(1)

点Aを出発してからx秒後のAPの長さは$1 \times x = x$ cmです。

したがって、BPの長さは$AB - AP = 10 - x$ cmです。

Qは毎秒2cmの速さで進むので、ABの長さ10cmを進むのに5秒かかります。

QがBC上にあるとき、$x > 5$です。

Qが点Aを出発してからx秒後のAQの長さは$2x$ cmです。

QがBC上にあるとき、BQの長さは $AQ - AB = 2x - 10$ cmです。

(2)

三角形BQPの面積は5 cm^2なので、

$\frac{1}{2} \times BQ \times BP = 5$

BQ = $2x - 10$, BP = $10 - x$を代入すると、

$\frac{1}{2} \times (2x - 10) \times (10 - x) = 5$

$(2x - 10)(10 - x) = 10$

$20x - 2x^2 - 100 + 10x = 10$

$-2x^2 + 30x - 110 = 0$

$2x^2 - 30x + 110 = 0$

$x^2 - 15x + 55 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \times 1 \times 55}}{2 \times 1}$

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 220}}{2}$

$x = \frac{15 \pm \sqrt{5}}{2}$

$x > 5$である必要があるので、$x = \frac{15 \pm \sqrt{5}}{2}$は両方とも条件を満たします。

3. 最終的な答え

(1) $BQ = 2x - 10$ cm

(2) $\frac{15 + \sqrt{5}}{2}$ 秒後, $\frac{15 - \sqrt{5}}{2}$ 秒後