内積 $(u, v)$ が、ベクトルのノルムを用いて以下のように表されることを示す問題です。 $(u, v) = \frac{1}{2} \{ ||u+v||^2 - ||u||^2 - ||v||^2 \}$

1. 問題の内容

内積 $(u, v)$ が、ベクトルのノルムを用いて以下のように表されることを示す問題です。

$(u, v) = \frac{1}{2} \{ ||u+v||^2 - ||u||^2 - ||v||^2 \}$

2. 解き方の手順

まず、ベクトルのノルムの定義を確認します。

$||x||^2 = (x, x)$

次に、$(u+v, u+v)$を展開します。内積の性質を利用します。

$(u+v, u+v) = (u, u) + (u, v) + (v, u) + (v, v)$

実ベクトル空間では、$(u, v) = (v, u)$ が成り立つので、

$(u+v, u+v) = (u, u) + 2(u, v) + (v, v)$

$||u+v||^2 = ||u||^2 + 2(u, v) + ||v||^2$

上記の式を$(u, v)$について解きます。

$2(u, v) = ||u+v||^2 - ||u||^2 - ||v||^2$

$(u, v) = \frac{1}{2} \{ ||u+v||^2 - ||u||^2 - ||v||^2 \}$

3. 最終的な答え

等式 $(u, v) = \frac{1}{2} \{ ||u+v||^2 - ||u||^2 - ||v||^2 \}$ が示されました。