与えられた6つの式を因数分解します。 (1) $x^4 - 81$ (2) $x^4 - 16y^4$ (3) $16x^4 - 81y^4$ (4) $x^4 + 5x^2 + 6$ (5) $x^4 + 3x^2 - 4$ (6) $x^4 - 20x^2 + 64$

1. 問題の内容

与えられた6つの式を因数分解します。

(1) $x^4 - 81$

(2) $x^4 - 16y^4$

(3) $16x^4 - 81y^4$

(4) $x^4 + 5x^2 + 6$

(5) $x^4 + 3x^2 - 4$

(6) $x^4 - 20x^2 + 64$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 - 81$

これは差の平方の形と見ることができます。 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を利用します。

$x^4 - 81 = (x^2)^2 - 9^2 = (x^2 + 9)(x^2 - 9)$

さらに、$x^2 - 9$ も差の平方の形なので、

$(x^2 + 9)(x^2 - 9) = (x^2 + 9)(x + 3)(x - 3)$

(2) $x^4 - 16y^4$

これも差の平方の形です。

$x^4 - 16y^4 = (x^2)^2 - (4y^2)^2 = (x^2 + 4y^2)(x^2 - 4y^2)$

$x^2 - 4y^2$ も差の平方の形なので、

$(x^2 + 4y^2)(x^2 - 4y^2) = (x^2 + 4y^2)(x + 2y)(x - 2y)$

(3) $16x^4 - 81y^4$

これも差の平方の形です。

$16x^4 - 81y^4 = (4x^2)^2 - (9y^2)^2 = (4x^2 + 9y^2)(4x^2 - 9y^2)$

$4x^2 - 9y^2$ も差の平方の形なので、

$(4x^2 + 9y^2)(4x^2 - 9y^2) = (4x^2 + 9y^2)(2x + 3y)(2x - 3y)$

(4) $x^4 + 5x^2 + 6$

$x^2 = t$ と置くと、$t^2 + 5t + 6$ となります。

これを因数分解すると、$(t + 2)(t + 3)$

$t$ を $x^2$ に戻すと、$(x^2 + 2)(x^2 + 3)$

(5) $x^4 + 3x^2 - 4$

$x^2 = t$ と置くと、$t^2 + 3t - 4$ となります。

これを因数分解すると、$(t + 4)(t - 1)$

$t$ を $x^2$ に戻すと、$(x^2 + 4)(x^2 - 1)$

$x^2 - 1$ も差の平方の形なので、

$(x^2 + 4)(x^2 - 1) = (x^2 + 4)(x + 1)(x - 1)$

(6) $x^4 - 20x^2 + 64$

$x^2 = t$ と置くと、$t^2 - 20t + 64$ となります。

これを因数分解すると、$(t - 4)(t - 16)$

$t$ を $x^2$ に戻すと、$(x^2 - 4)(x^2 - 16)$

$x^2 - 4$ と $x^2 - 16$ も差の平方の形なので、

$(x^2 - 4)(x^2 - 16) = (x + 2)(x - 2)(x + 4)(x - 4)$

3. 最終的な答え

(1) $(x^2 + 9)(x + 3)(x - 3)$

(2) $(x^2 + 4y^2)(x + 2y)(x - 2y)$

(3) $(4x^2 + 9y^2)(2x + 3y)(2x - 3y)$

(4) $(x^2 + 2)(x^2 + 3)$

(5) $(x^2 + 4)(x + 1)(x - 1)$

(6) $(x + 2)(x - 2)(x + 4)(x - 4)$