ある通信会社の携帯電話の料金プランに関する問題です。花子さんと太郎さんの料金プランが異なり、通話時間$x$分によって料金が変わります。 (1) 花子さんの料金が7000円となるような通話時間$x$を求めます。 (2) 花子さんと太郎さんの料金の差が1200円となるような通話時間$x$を求めます。 (3) 花子さんがプランを変更した場合に、2つの条件を満たす通話時間$x$の範囲を求めます。

1. 問題の内容

ある通信会社の携帯電話の料金プランに関する問題です。花子さんと太郎さんの料金プランが異なり、通話時間$x$分によって料金が変わります。

(1) 花子さんの料金が7000円となるような通話時間$x$を求めます。

(2) 花子さんと太郎さんの料金の差が1200円となるような通話時間$x$を求めます。

(3) 花子さんがプランを変更した場合に、2つの条件を満たす通話時間$x$の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 花子さんの料金$P$を$x$の式で表し、$P=7000$となる$x$を求めます。

花子さんはプランAを利用しており、基本料金は6000円です。

$x>240$のとき、通話料金は$10(x-240)$円です。

したがって、$P = 6000 + 10(x - 240) = 7000$ となります。

(2) 花子さんの料金$P$と太郎さんの料金$Q$をそれぞれ$x$の式で表し、$|P-Q|=1200$となる$x$を求めます。

太郎さんはプランBを利用しており、基本料金は500円で、通話料金は$20x$円です。

したがって、$Q = 500 + 20x$ となります。

$x>240$の場合、$P = 6000 + 10(x - 240)$. $|P-Q| = |6000 + 10(x - 240) - (500 + 20x)| = 1200$.

(3) 花子さんがプランCに変更した場合の料金を$P'$とし、太郎さんの料金$Q$との差$|P'-Q|$が1200円以下となる$x$の範囲と、花子さんがプランAを利用していた場合の料金$P$以下となる$x$の範囲を求め、それらを同時に満たす$x$の範囲を求めます。

花子さんがプランCを利用する場合、$P'$は次のようになります。

$100 < x \leq 300$のとき、$P' = 5000 + 5(x - 100)$.

$x > 300$のとき、$P' = 5000 + 5(300 - 100) + 15(x - 300) = 5000 + 1000 + 15(x - 300) = 6000 + 15(x - 300)$.

条件1: $|P' - Q| \leq 1200$

条件2: $P' \leq P$

(1)

$6000 + 10(x-240) = 7000$

$10(x-240) = 1000$

$x - 240 = 100$

$x = 340$

(2)

$P = 6000 + 10(x-240)$

$Q = 500 + 20x$

$|P - Q| = |6000 + 10x - 2400 - 500 - 20x| = |3100 - 10x| = 1200$

$3100 - 10x = 1200$ または $3100 - 10x = -1200$

$10x = 1900$ または $10x = 4300$

$x = 190$ または $x = 430$

(3)

プランCの花子さんの料金を$P'$とすると:

$100 < x \le 300$のとき、$P' = 5000 + 5(x-100)$.

$x > 300$のとき、$P' = 6000 + 15(x-300)$.

条件1: $|P' - Q| \le 1200$.

条件2: $P' \le P = 6000 + 10(x-240)$.

3. 最終的な答え

(1) $x = 340$

(2) $x = 190, 430$

(3) (条件1を満たすxの範囲、条件1と条件2をともに満たすxの範囲) (計算が必要)