ある高等学校の1年生全員が長椅子に座る時、1脚に6人ずつ座ると15人が座れなくなり、1脚に7人ずつ座ると長椅子が3脚余る。長椅子の数は何脚以上何脚以下か。

1. 問題の内容

ある高等学校の1年生全員が長椅子に座る時、1脚に6人ずつ座ると15人が座れなくなり、1脚に7人ずつ座ると長椅子が3脚余る。長椅子の数は何脚以上何脚以下か。

2. 解き方の手順

長椅子の数を $x$ 脚とする。

1脚に6人ずつ座った場合、全体の人数は $6x+15$ 人となる。

1脚に7人ずつ座った場合、3脚余るので実際に使った長椅子は $x-3$ 脚である。全体の人数は $7(x-3)$ 人となる。

この時、誰も座っていない長椅子が存在する可能性がある。長椅子が3脚余るというのは、誰も座っていない長椅子が0脚、1脚、2脚の場合がある。全員座っている長椅子が $x-4$ 脚の場合もあり得る。

長椅子の数 $x$ の取りうる範囲を考える。

6人ずつ座った場合の人数の式と、7人ずつ座った場合の人数の式を比較して、不等式を立てる。

7人ずつ座った場合は、3脚以上余ることから、実際に使った椅子の数は $x-3$ 脚以下である。

空き椅子の数が3脚の場合、 $7(x-4)$ と考えることができる。

したがって、$7(x-4) \le 6x+15 \le 7(x-3)$が成り立つ。

まず、$6x+15 \le 7(x-3)$ を解く。

$6x+15 \le 7x-21$

$15+21 \le 7x-6x$

$36 \le x$

したがって、$x \ge 36$

次に、$7(x-4) \le 6x+15$ を解く。

$7x-28 \le 6x+15$

$7x-6x \le 15+28$

$x \le 43$

したがって、$36 \le x \le 43$

3. 最終的な答え

長椅子の数は36脚以上43脚以下。