関数 $y = x^2 + 2mx - 4m$ の最小値を $s$ とします。 (1) $s$ は $m$ のどのような関数になるか。 (2) $s$ は $m$ のどのような値に対して最大になるか。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + 2mx - 4m$ の最小値を $s$ とします。

(1) $s$ は $m$ のどのような関数になるか。

(2) $s$ は $m$ のどのような値に対して最大になるか。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 2mx - 4m$ を平方完成します。

$y = (x+m)^2 - m^2 - 4m$

よって、最小値 $s$ は $s = -m^2 - 4m$ となります。

これは $m$ の二次関数です。

(2) $s = -m^2 - 4m$ を最大にする $m$ の値を求めます。

$s = -(m^2 + 4m) = -(m^2 + 4m + 4) + 4 = -(m+2)^2 + 4$

$s$ は $m = -2$ のとき最大値4をとります。

3. 最終的な答え

(1) $s$ は $m$ の二次関数であり、$s = -m^2 - 4m$ と表される。

(2) $s$ は $m = -2$ のとき最大になる。