2次関数 $y = x^2 + ax + b$ のグラフが $x$ 軸に接し、かつ点 $(-1, 1)$ を通るとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + ax + b$ のグラフが $x$ 軸に接し、かつ点 $(-1, 1)$ を通るとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 + ax + b$ のグラフが $x$ 軸に接するという条件から、$x^2 + ax + b = 0$ の判別式 $D$ が $D = 0$ であることを利用します。

判別式 $D$ は、$D = a^2 - 4(1)(b) = a^2 - 4b$ なので、$a^2 - 4b = 0$ が成り立ちます。

次に、点 $(-1, 1)$ を通るという条件から、$x = -1$, $y = 1$ を $y = x^2 + ax + b$ に代入して、

$1 = (-1)^2 + a(-1) + b$

$1 = 1 - a + b$

$a - b = 0$

$a = b$

$a^2 - 4b = 0$ に $a = b$ を代入すると、$a^2 - 4a = 0$ となります。

$a(a - 4) = 0$ より、$a = 0$ または $a = 4$ が得られます。

$a = 0$ のとき、$b = a = 0$ となります。

$a = 4$ のとき、$b = a = 4$ となります。

$a=0, b=0$ のとき、$y = x^2$ となり、$(-1,1)$ を通ります。

$a=4, b=4$ のとき、$y = x^2 + 4x + 4$ となり、$(-1,1)$ を通ります。

したがって、$a = 0, b = 0$ または $a = 4, b = 4$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 0, b = 0$ または $a = 4, b = 4$