(1) $(x+4)^3$ (2) $(2a+3b)^3$ (3) $(x-3)^3$ (4) $(3a-4b)^3$ (5) $(a+5)(a^2-5a+25)$ (6) $(3x-1)(9x^2+3x+1)$ (7) $(3a+2b)(9a^2-6ab+4b^2)$ (8) $(4x-y)(16x^2+4xy+y^2)$

はい、承知いたしました。問題集の画像にある問題について、展開と因数分解の問題をいくつか解いていきます。

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1. 問題の内容**

1. 次の式を展開しなさい。

(1) $(x+4)^3$

(2) $(2a+3b)^3$

(3) $(x-3)^3$

(4) $(3a-4b)^3$

(5) $(a+5)(a^2-5a+25)$

(6) $(3x-1)(9x^2+3x+1)$

(7) $(3a+2b)(9a^2-6ab+4b^2)$

(8) $(4x-y)(16x^2+4xy+y^2)$

2. 次の式を因数分解しなさい。

(1) $a^3+1$

(2) $x^3-64$

(3) $27x^3+8$

(4) $64x^3-27$

(5) $8a^3+125b^3$

(6) $125x^3-64y^3$

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2. 解き方の手順**

1. 式の展開

(1) $(x+4)^3$:

$(x+4)^3 = x^3 + 3(x^2)(4) + 3(x)(4^2) + 4^3 = x^3 + 12x^2 + 48x + 64$

(2) $(2a+3b)^3$:

$(2a+3b)^3 = (2a)^3 + 3(2a)^2(3b) + 3(2a)(3b)^2 + (3b)^3 = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3$

(3) $(x-3)^3$:

$(x-3)^3 = x^3 - 3(x^2)(3) + 3(x)(3^2) - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$

(4) $(3a-4b)^3$:

$(3a-4b)^3 = (3a)^3 - 3(3a)^2(4b) + 3(3a)(4b)^2 - (4b)^3 = 27a^3 - 108a^2b + 144ab^2 - 64b^3$

(5) $(a+5)(a^2-5a+25)$:

これは $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ の公式の形である。

$(a+5)(a^2-5a+25) = a^3+5^3 = a^3+125$

(6) $(3x-1)(9x^2+3x+1)$:

これは $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ の公式の形である。

$(3x-1)(9x^2+3x+1) = (3x)^3 - 1^3 = 27x^3 - 1$

(7) $(3a+2b)(9a^2-6ab+4b^2)$:

これは $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ の公式の形である。

$(3a+2b)(9a^2-6ab+4b^2) = (3a)^3 + (2b)^3 = 27a^3 + 8b^3$

(8) $(4x-y)(16x^2+4xy+y^2)$:

これは $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ の公式の形である。

$(4x-y)(16x^2+4xy+y^2) = (4x)^3 - y^3 = 64x^3 - y^3$

2. 因数分解

(1) $a^3+1$:

$a^3+1 = (a+1)(a^2-a+1)$

(2) $x^3-64$:

$x^3-64 = x^3-4^3 = (x-4)(x^2+4x+16)$

(3) $27x^3+8$:

$27x^3+8 = (3x)^3+2^3 = (3x+2)(9x^2-6x+4)$

(4) $64x^3-27$:

$64x^3-27 = (4x)^3-3^3 = (4x-3)(16x^2+12x+9)$

(5) $8a^3+125b^3$:

$8a^3+125b^3 = (2a)^3+(5b)^3 = (2a+5b)(4a^2-10ab+25b^2)$

(6) $125x^3-64y^3$:

$125x^3-64y^3 = (5x)^3-(4y)^3 = (5x-4y)(25x^2+20xy+16y^2)$

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3. 最終的な答え**

1. 式の展開

(1) $x^3 + 12x^2 + 48x + 64$

(2) $8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3$

(3) $x^3 - 9x^2 + 27x - 27$

(4) $27a^3 - 108a^2b + 144ab^2 - 64b^3$

(5) $a^3+125$

(6) $27x^3 - 1$

(7) $27a^3 + 8b^3$

(8) $64x^3 - y^3$

2. 因数分解

(1) $(a+1)(a^2-a+1)$

(2) $(x-4)(x^2+4x+16)$

(3) $(3x+2)(9x^2-6x+4)$

(4) $(4x-3)(16x^2+12x+9)$

(5) $(2a+5b)(4a^2-10ab+25b^2)$

(6) $(5x-4y)(25x^2+20xy+16y^2)$