与えられた数列の和を求める問題です。数列は $1\cdot2 + 2\cdot3 + 3\cdot4 + \dots + n(n+1)$ で表されます。この和を $n$ の式で表す必要があります。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列は $1\cdot2 + 2\cdot3 + 3\cdot4 + \dots + n(n+1)$ で表されます。この和を $n$ の式で表す必要があります。

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項を考えます。一般項は $k(k+1)$ で表されます。したがって、求める和は $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$ となります。

この和を計算するために、一般項を展開します。

$k(k+1) = k^2 + k$

したがって、求める和は

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

となります。

$\sum_{k=1}^{n} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ はそれぞれ公式で求めることができます。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

したがって、求める和は

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$

共通因数 $n(n+1)$ でくくると

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{6} [ (2n+1) + 3 ]$

$= \frac{n(n+1)}{6} (2n+4) = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{2n(n+1)(n+2)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$