2次関数 $y = x^2 + ax + b$ のグラフが $x$ 軸に接し、かつ点 $(-1, 1)$ を通るとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + ax + b$ のグラフが $x$ 軸に接し、かつ点 $(-1, 1)$ を通るとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次関数 $y = x^2 + ax + b$ のグラフが $x$ 軸に接するという条件から、$x^2 + ax + b = 0$ の判別式 $D$ が $D = 0$ となることを利用する。

$D = a^2 - 4b = 0$ より、

$a^2 = 4b$

$b = \frac{a^2}{4}$

次に、このグラフが点 $(-1, 1)$ を通るという条件から、

$1 = (-1)^2 + a(-1) + b$

$1 = 1 - a + b$

$a = b$

$a = b$ を $b = \frac{a^2}{4}$ に代入して、

$a = \frac{a^2}{4}$

$4a = a^2$

$a^2 - 4a = 0$

$a(a - 4) = 0$

$a = 0$ または $a = 4$

$a = 0$ のとき、$b = 0$。

$a = 4$ のとき、$b = 4$。

3. 最終的な答え

$a=0, b=0$ または $a=4, b=4$