この問題は、二次関数と一次関数に関する問題です。 (1) 二次関数 $y = -\frac{1}{2}(x+2)^2 - 2$ のグラフを描き、軸と頂点を求める。 (2) 一次関数 $y = -\frac{1}{3}x + 5$ (定義域: $-3 \le x < 6$) のグラフを描き、値域を求め、最大値、最小値を求める。 (3) 二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが与えられた図のようになるとき、$a$, $b$, $c$ の符号を求める。

## 回答

1. 問題の内容

この問題は、二次関数と一次関数に関する問題です。

(1) 二次関数 $y = -\frac{1}{2}(x+2)^2 - 2$ のグラフを描き、軸と頂点を求める。

(2) 一次関数 $y = -\frac{1}{3}x + 5$ (定義域: $-3 \le x < 6$) のグラフを描き、値域を求め、最大値、最小値を求める。

(3) 二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが与えられた図のようになるとき、$a$, $b$, $c$ の符号を求める。

2. 解き方の手順

(1) 二次関数 $y = -\frac{1}{2}(x+2)^2 - 2$ について

* $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形されているので、頂点は $(p, q)$。

* この問題では頂点は $(-2, -2)$。

* $x$ の係数が負なので上に凸のグラフ。

* 軸は $x = p$ で表されるので、$x = -2$。

* グラフは頂点を中心にして左右対称な曲線となる。

(2) 一次関数 $y = -\frac{1}{3}x + 5$ ($-3 \le x < 6$) について

* これは傾き $-\frac{1}{3}$、切片 $5$ の直線。

* 定義域が $-3 \le x < 6$ なので、この範囲でグラフを描く。

* $x = -3$ のとき、$y = -\frac{1}{3}(-3) + 5 = 1 + 5 = 6$

* $x = 6$ のとき、$y = -\frac{1}{3}(6) + 5 = -2 + 5 = 3$

* $x = -3$ は定義域に含まれるので、最大値は $6$。

* $x = 6$ は定義域に含まれないので、最小値はない。$3$ は下限。

* よって値域は、$3 < y \le 6$。

(3) 二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ について

* グラフが上に凸なので、$a < 0$。

* グラフと $y$ 軸との交点の $y$ 座標が $c$ である。グラフは $y$ 軸の正の部分で交わっているので、$c > 0$。

* 軸 $x = -\frac{b}{2a}$ が $x > 0$ にある。$a<0$ より $b>0$。

3. 最終的な答え

(1) グラフ：$y = -\frac{1}{2}(x+2)^2 - 2$ のグラフ

軸: $x = -2$

頂点: $(-2, -2)$

(2) グラフ：$y = -\frac{1}{3}x + 5$ の $-3 \le x < 6$ の範囲

値域: $3 < y \le 6$

最大値: $6$

最小値: なし

(3)

$a < 0$

$b > 0$

$c > 0$