関数 $y = 2x^2$ のグラフ上の点Pと原点Oと点A(3, 0)を結んでできる三角形POAについて、以下の問いに答える。ただし、座標の1目盛りは1cmとする。 (1) 点Pのx座標が2のとき、三角形POAの面積を求める。 (2) 点Pのx座標を$p$として、三角形POAの面積を$p$の式で表す。 (3) 三角形POAの面積が48cm$^2$となるときの点Pの座標を全て求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2$ のグラフ上の点Pと原点Oと点A(3, 0)を結んでできる三角形POAについて、以下の問いに答える。ただし、座標の1目盛りは1cmとする。

(1) 点Pのx座標が2のとき、三角形POAの面積を求める。

(2) 点Pのx座標を$p$として、三角形POAの面積を$p$の式で表す。

(3) 三角形POAの面積が48cm$^2$となるときの点Pの座標を全て求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Pのx座標が2のとき、y座標は$y = 2(2)^2 = 8$となる。

よって、点Pの座標は(2, 8)である。

三角形POAの底辺をOAとすると、底辺の長さは3である。

高さは点Pのy座標なので、8である。

三角形の面積は、$\frac{1}{2} \times 底辺 \times 高さ$で求められるので、

$\frac{1}{2} \times 3 \times 8 = 12$ (cm$^2$)

(2) 点Pのx座標が$p$のとき、y座標は$y = 2p^2$となる。

よって、点Pの座標は($p$, $2p^2$)である。

三角形POAの底辺をOAとすると、底辺の長さは3である。

高さは点Pのy座標なので、$2p^2$である。

三角形の面積は、$\frac{1}{2} \times 底辺 \times 高さ$で求められるので、

$\frac{1}{2} \times 3 \times 2p^2 = 3p^2$ (cm$^2$)

(3) 三角形POAの面積が48cm$^2$となるとき、$3p^2 = 48$である。

$p^2 = \frac{48}{3} = 16$

$p = \pm \sqrt{16} = \pm 4$

したがって、$p = 4$のとき、点Pの座標は($4, 2(4)^2$) = (4, 32)。

$p = -4$のとき、点Pの座標は($-4, 2(-4)^2$) = (-4, 32)。

3. 最終的な答え

(1) 12 cm$^2$

(2) $3p^2$ cm$^2$

(3) (4, 32), (-4, 32)