不等式 $\log_x y + 2\log_y x < 3$ を満たす点 $(x, y)$ が存在する領域を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $\log_x y + 2\log_y x < 3$ を満たす点 $(x, y)$ が存在する領域を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、対数の定義から $x > 0$, $x \neq 1$, $y > 0$, $y \neq 1$ である。

$\log_y x = \frac{1}{\log_x y}$ なので、$\log_x y = t$ とおくと、$\log_y x = \frac{1}{t}$ となる。

よって、与えられた不等式は

$t + \frac{2}{t} < 3$

となる。両辺に $t$ をかける。

$t > 0$ のとき：

$t^2 + 2 < 3t$

$t^2 - 3t + 2 < 0$

$(t - 1)(t - 2) < 0$

$1 < t < 2$

$t < 0$ のとき：

$t^2 + 2 > 3t$

$t^2 - 3t + 2 > 0$

$(t - 1)(t - 2) > 0$

$t < 1$ または $t > 2$

$t < 0$ より $t < 0$

$\log_x y = t$ より、

$1 < \log_x y < 2$ または $\log_x y < 0$

場合分けをして考える。

(1) $x > 1$ のとき：

$1 < \log_x y < 2 \iff x < y < x^2$

$\log_x y < 0 \iff 0 < y < 1$

(2) $0 < x < 1$ のとき：

$1 < \log_x y < 2 \iff x^2 < y < x$

$\log_x y < 0 \iff y > 1$

以上より、領域は以下のようになる。

(1) $x > 1$ かつ ($x < y < x^2$ または $0 < y < 1$)

(2) $0 < x < 1$ かつ ($x^2 < y < x$ または $y > 1$)

3. 最終的な答え

$x > 1$ かつ $x < y < x^2$ または $0 < y < 1$, または $0 < x < 1$ かつ $x^2 < y < x$ または $y > 1$.

ただし、$x \neq 1$, $y \neq 1$ かつ $x > 0$ かつ $y > 0$.