方程式 $|x| + |x-2| = 4$ を解きます。

1. 問題の内容

方程式 $|x| + |x-2| = 4$ を解きます。

2. 解き方の手順

絶対値を含む方程式なので、場合分けをして絶対値を外します。

(1) $x < 0$ のとき:

$|x| = -x$ であり、$|x-2| = -(x-2) = -x + 2$ です。

したがって、方程式は

$-x + (-x + 2) = 4$

$-2x + 2 = 4$

$-2x = 2$

$x = -1$

これは $x < 0$ を満たすので、解の一つです。

(2) $0 \le x < 2$ のとき:

$|x| = x$ であり、$|x-2| = -(x-2) = -x + 2$ です。

したがって、方程式は

$x + (-x + 2) = 4$

$2 = 4$

これは成り立ちません。したがって、$0 \le x < 2$ の範囲には解はありません。

(3) $2 \le x$ のとき:

$|x| = x$ であり、$|x-2| = x-2$ です。

したがって、方程式は

$x + (x-2) = 4$

$2x - 2 = 4$

$2x = 6$

$x = 3$

これは $2 \le x$ を満たすので、解の一つです。

3. 最終的な答え

$x = -1, 3$