問題４は、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ を $a, b, c$ を用いて表す問題です。 問題５は、2次方程式 $x^2 + 6x - 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha + \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$, $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$, $\alpha^2 + \beta^2$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題４は、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ を $a, b, c$ を用いて表す問題です。

問題５は、2次方程式 $x^2 + 6x - 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha + \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$, $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$, $\alpha^2 + \beta^2$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題４

(1) 解と係数の関係より、$ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解 $\alpha, \beta$ について、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

(2) 解と係数の関係より、

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

問題５

(1) 解と係数の関係より、$x^2 + 6x - 5 = 0$ の2つの解 $\alpha, \beta$ について、

$\alpha + \beta = -6$

(2) 解と係数の関係より、

$\alpha \beta = -5$

(3) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \alpha \beta (\alpha + \beta)$ より、(1)と(2)の結果を使うと、

$\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = (-5) \times (-6) = 30$

(4) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$ より、(1)と(2)の結果を使うと、

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5}$

(5) $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta$ より、(1)と(2)の結果を使うと、

$\alpha^2 + \beta^2 = (-6)^2 - 2 \times (-5) = 36 + 10 = 46$

3. 最終的な答え

問題４

(1) $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

(2) $\alpha \beta = \frac{c}{a}$

問題５

(1) $\alpha + \beta = -6$

(2) $\alpha \beta = -5$

(3) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = 30$

(4) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{6}{5}$

(5) $\alpha^2 + \beta^2 = 46$