3次方程式 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ が少なくとも1つの実数解を持つことを証明する。

1. 問題の内容

3次方程式 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ が少なくとも1つの実数解を持つことを証明する。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ について考える。

$x$ が十分大きい正の値を取るとき、$x^3$ の項が支配的になり、$f(x)$ は正の値を取る。

同様に、$x$ が絶対値の十分大きい負の値を取るとき、$x^3$ の項が支配的になり、$f(x)$ は負の値を取る。

厳密には、以下のように示す。

任意の正の数 $M$ に対して、$f(x) > 0$ となる $x > M$ が存在する。

同様に、$f(x) < 0$ となる $x < -M$ が存在する。

例えば、$x > \max(M, |a| + |b| + |c|)$ とすると、

$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c > x^3 - (|a|x^2 + |b|x + |c|) > x^3 - (|a|+|b|+|c|)x^2 > x^3 - x x^2 = 0$。

同様に、$x < -\max(M, |a| + |b| + |c|)$ とすると、

$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c < x^3 + (|a|x^2 + |b|x + |c|) < x^3 + (|a|+|b|+|c|)x^2 < x^3 + (-x) x^2 = 0$。

したがって、ある実数 $x_1$ で $f(x_1) < 0$ となり、ある実数 $x_2$ で $f(x_2) > 0$ となる。

関数 $f(x)$ は多項式関数なので連続である。したがって、中間値の定理より、$x_1$ と $x_2$ の間に $f(x) = 0$ となる実数 $x$ が存在する。つまり、方程式 $f(x) = 0$ は実数解を持つ。

3. 最終的な答え

したがって、3次方程式 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ は少なくとも1つの実数解を持つ。