関数 $y = x - 1 + |2x - 4|$ の $1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x - 1 + |2x - 4|$ の $1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

絶対値を含む関数なので、絶対値の中身の符号で場合分けをする。

(i) $1 \le x \le 2$ のとき、$2x - 4 \le 0$ なので、

$|2x - 4| = -(2x - 4) = -2x + 4$

したがって、

$y = x - 1 + (-2x + 4) = -x + 3$

これは傾きが負の直線なので、$x=1$ のとき最大値 $y = -1 + 3 = 2$ をとり、$x=2$ のとき最小値 $y = -2 + 3 = 1$ をとる。

(ii) $2 \le x \le 3$ のとき、$2x - 4 \ge 0$ なので、

$|2x - 4| = 2x - 4$

したがって、

$y = x - 1 + (2x - 4) = 3x - 5$

これは傾きが正の直線なので、$x=2$ のとき最小値 $y = 3(2) - 5 = 1$ をとり、$x=3$ のとき最大値 $y = 3(3) - 5 = 4$ をとる。

(i), (ii) より、$1 \le x \le 3$ における $y$ の最大値は $4$, 最小値は $1$ である。

3. 最終的な答え

最大値: 4

最小値: 1