2次関数 $y = 2(x-2)^2 - 4$ の取り得る値の範囲（値域）を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2(x-2)^2 - 4$ の取り得る値の範囲（値域）を求める。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数は $y = 2(x-2)^2 - 4$ である。この関数は平方完成された形である。

$(x-2)^2$ は常に0以上の値をとる。なぜなら、実数の2乗は必ず0以上になるからである。

したがって、

$0 \le (x-2)^2$

となる。この不等式の両辺に2を掛けると、

$0 \le 2(x-2)^2$

となる。さらに、両辺から4を引くと、

$-4 \le 2(x-2)^2 - 4$

となる。

したがって、

$y \ge -4$

これは、与えられた2次関数の最小値が-4であることを意味する。なぜなら、$x=2$ のとき $y = 2(2-2)^2 - 4 = -4$ であり、$x$ が他の値をとるとき、$2(x-2)^2$ は正の値をとり、$y$ は $-4$ より大きくなるからである。

グラフは下に凸な放物線であるため、最大値は存在しない。したがって、$y$ は $-4$ 以上のすべての値をとることができる。

3. 最終的な答え

$y \ge -4$