連立方程式 $\begin{cases} ax + 3y = 32 \\ bx + cy = 31 \end{cases}$ の正しい解は $x = 1, y = 9$ である。太郎君は $c$ の符号を間違えて解いたため、$x = 7$ となった。$b$、$c$ の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

連立方程式

$\begin{cases}

ax + 3y = 32 \\

bx + cy = 31

\end{cases}$

の正しい解は $x = 1, y = 9$ である。太郎君は $c$ の符号を間違えて解いたため、$x = 7$ となった。$b$、$c$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、正しい解 $x = 1, y = 9$ を連立方程式に代入して、$a$ と $b$ の関係式を求めます。

$a(1) + 3(9) = 32$ より

$a + 27 = 32$

$a = 5$

$b(1) + c(9) = 31$ より

$b + 9c = 31$

次に、太郎君は $c$ の符号を間違えて解いたため、$x = 7$ となったので、符号を間違えた $c$ を $-c$ とすると、連立方程式は

$\begin{cases}

5x + 3y = 32 \\

bx - cy = 31

\end{cases}$

となります。

この連立方程式に $x = 7$ を代入します。

$5(7) + 3y = 32$ より

$35 + 3y = 32$

$3y = -3$

$y = -1$

よって、太郎君が解いた連立方程式の解は $x = 7, y = -1$ であるので、

$b(7) - c(-1) = 31$

$7b + c = 31$

$b + 9c = 31$

$7b + c = 31$

の連立方程式を解きます。

$b + 9c = 31$ より $b = 31 - 9c$

$7(31 - 9c) + c = 31$

$217 - 63c + c = 31$

$-62c = -186$

$c = 3$

$b = 31 - 9(3)$

$b = 31 - 27$

$b = 4$

3. 最終的な答え

$b = 4$

$c = 3$