連立方程式 $ \begin{cases} 3ax - 15ay = \frac{21}{4} \\ 8x - \frac{4}{9}y = -5 \end{cases} $ の解 $x, y$ について、$y$ の値が $x$ のちょうど3倍になるとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

連立方程式

$$

\begin{cases}

3ax - 15ay = \frac{21}{4} \\

8x - \frac{4}{9}y = -5

\end{cases}

$$

の解 $x, y$ について、$y$ の値が $x$ のちょうど3倍になるとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y=3x$ という条件を連立方程式に代入します。

2番目の式に $y=3x$ を代入すると、

$8x - \frac{4}{9}(3x) = -5$

$8x - \frac{4}{3}x = -5$

両辺に3をかけて

$24x - 4x = -15$

$20x = -15$

$x = -\frac{15}{20} = -\frac{3}{4}$

$y = 3x$ より、

$y = 3 \left( -\frac{3}{4} \right) = -\frac{9}{4}$

求めた $x = -\frac{3}{4}, y = -\frac{9}{4}$ を1番目の式に代入します。

$3a \left(-\frac{3}{4} \right) - 15a \left(-\frac{9}{4} \right) = \frac{21}{4}$

$-\frac{9}{4}a + \frac{135}{4}a = \frac{21}{4}$

両辺に4をかけて

$-9a + 135a = 21$

$126a = 21$

$a = \frac{21}{126} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{6}$