連立方程式 $\begin{cases} 4x+3y=7 \\ ax+5y=30 \end{cases}$ の解 $x, y$ を入れ替えたものが、連立方程式 $\begin{cases} 7x-2y=b \\ 2x-5y=43 \end{cases}$ の解になる。$a$と$b$の値を求めよ。

1. 問題の内容

連立方程式

$\begin{cases}

4x+3y=7 \\

ax+5y=30

\end{cases}$

の解 $x, y$ を入れ替えたものが、連立方程式

$\begin{cases}

7x-2y=b \\

2x-5y=43

\end{cases}$

の解になる。$a$と$b$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

最初の連立方程式の解を $x=X, y=Y$ とすると、

$\begin{cases}

4X+3Y=7 \\

aX+5Y=30

\end{cases}$

が成り立つ。

問題文より、この解を入れ替えた $x=Y, y=X$ が、次の連立方程式の解になるので、

$\begin{cases}

7Y-2X=b \\

2Y-5X=43

\end{cases}$

が成り立つ。

まず、$X$と$Y$に関する連立方程式

$\begin{cases}

4X+3Y=7 \\

-5X+2Y=43

\end{cases}$

を解く。

一つ目の式を2倍、二つ目の式を3倍すると

$\begin{cases}

8X+6Y=14 \\

-15X+6Y=129

\end{cases}$

引き算をすると、

$23X = -115$

$X = -5$

$4(-5)+3Y = 7$ より

$-20+3Y = 7$

$3Y = 27$

$Y = 9$

したがって、最初の連立方程式の解は $X = -5, Y = 9$ である。

この解を $aX+5Y=30$ に代入すると、

$-5a + 5(9) = 30$

$-5a + 45 = 30$

$-5a = -15$

$a = 3$

また、$7Y-2X=b$ に $X = -5, Y = 9$ を代入すると、

$7(9) - 2(-5) = b$

$63 + 10 = b$

$b = 73$

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 73$