2次不等式 $-x^2 + 7x + 1 > 0$ を解きます。

1. 問題の内容

2次不等式 $-x^2 + 7x + 1 > 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に-1をかけて、 $x^2$ の係数を正にします。

すると、不等号の向きが変わるので、

$x^2 - 7x - 1 < 0$

となります。

次に、2次方程式 $x^2 - 7x - 1 = 0$ の解を求めます。

解の公式を用いると、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a=1$, $b=-7$, $c=-1$ なので、

$x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 4}}{2}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{53}}{2}$

したがって、2次方程式の解は $x = \frac{7 - \sqrt{53}}{2}$ と $x = \frac{7 + \sqrt{53}}{2}$ となります。

$x^2 - 7x - 1 < 0$ を満たす $x$ の範囲は、2次方程式の2つの解の間になります。

3. 最終的な答え

$\frac{7 - \sqrt{53}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{53}}{2}$