2次不等式 $3x^2 - 3x - 1 > 0$ を解きます。

1. 問題の内容

2次不等式 $3x^2 - 3x - 1 > 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$3x^2 - 3x - 1 = 0$ の解を求めます。これは因数分解できないので、解の公式を使います。

解の公式は、二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解が $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられるというものです。

この問題の場合、$a = 3$, $b = -3$, $c = -1$ なので、

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12}}{6}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}$

したがって、$3x^2 - 3x - 1 = 0$ の解は $x = \frac{3 + \sqrt{21}}{6}$ と $x = \frac{3 - \sqrt{21}}{6}$ です。

次に、$y = 3x^2 - 3x - 1$ のグラフを描きます。これは下に凸な放物線であり、$x$軸との交点は $x = \frac{3 + \sqrt{21}}{6}$ と $x = \frac{3 - \sqrt{21}}{6}$ です。

不等式 $3x^2 - 3x - 1 > 0$ を満たす $x$ の範囲は、放物線が $x$ 軸より上にある部分です。つまり、$x < \frac{3 - \sqrt{21}}{6}$ または $x > \frac{3 + \sqrt{21}}{6}$ です。

3. 最終的な答え

$x < \frac{3 - \sqrt{21}}{6}, \frac{3 + \sqrt{21}}{6} < x$