正の実数 $t$ に対して、$xy$ 平面上の放物線 $C: y = x^2 + tx + t^2$ を考える。 (1) 実数 $t$ が範囲 $t > 0$ を動くとき、放物線 $C$ の頂点の軌跡を求め、図示する。 (2) 実数 $t$ が範囲 $t > 0$ を動くとき、放物線 $C$ の通過する領域を求め、図示する。

1. 問題の内容

正の実数 $t$ に対して、$xy$ 平面上の放物線 $C: y = x^2 + tx + t^2$ を考える。

(1) 実数 $t$ が範囲 $t > 0$ を動くとき、放物線 $C$ の頂点の軌跡を求め、図示する。

(2) 実数 $t$ が範囲 $t > 0$ を動くとき、放物線 $C$ の通過する領域を求め、図示する。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の軌跡を求める。

まず、放物線 $C$ の式を平方完成する。

$y = x^2 + tx + t^2 = (x + \frac{t}{2})^2 - (\frac{t}{2})^2 + t^2 = (x + \frac{t}{2})^2 + \frac{3}{4}t^2$

したがって、頂点の座標は $(-\frac{t}{2}, \frac{3}{4}t^2)$ である。

頂点の座標を $(X, Y)$ とすると、

$X = -\frac{t}{2}$

$Y = \frac{3}{4}t^2$

$t = -2X$ より、

$Y = \frac{3}{4}(-2X)^2 = \frac{3}{4}(4X^2) = 3X^2$

$t > 0$ より、$-2X > 0$ つまり、$X < 0$ である。

よって、頂点の軌跡は、$y = 3x^2$ の $x < 0$ の部分である。

(2) 放物線 $C$ の通過領域を求める。

$y = x^2 + tx + t^2$ を $t$ についての二次方程式とみると、

$t^2 + xt + x^2 - y = 0$

$t$ が実数解を持つための条件は、判別式 $D \ge 0$ である。

$D = x^2 - 4(x^2 - y) = x^2 - 4x^2 + 4y = -3x^2 + 4y \ge 0$

$4y \ge 3x^2$

$y \ge \frac{3}{4}x^2$

$t > 0$ より、

$t = \frac{-x \pm \sqrt{-3x^2 + 4y}}{2} > 0$

$-x \pm \sqrt{-3x^2 + 4y} > 0$

$\sqrt{-3x^2 + 4y} > x$

i) $x < 0$ のとき、常に $\sqrt{-3x^2 + 4y} > x$ は成り立つ。

したがって、$y \ge \frac{3}{4}x^2$

ii) $x \ge 0$ のとき、両辺を2乗して

$-3x^2 + 4y > x^2$

$4y > 4x^2$

$y > x^2$

したがって、通過領域は $y \ge \frac{3}{4}x^2$ であり、$x \ge 0$ では、$y > x^2$ である。

しかし、$y \ge x^2$ ならば、$y > x^2$ となるので、$y \ge \frac{3}{4}x^2$ となることはない。

そのため、通過領域は $y \ge \frac{3}{4}x^2$ である。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の軌跡: $y = 3x^2$ ($x < 0$)

(2) 放物線Cの通過領域: $y \ge \frac{3}{4}x^2$