ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ に垂直なベクトルを1つ求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ に垂直なベクトルを1つ求める。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}$ に垂直なベクトルを $\vec{b} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ とすると、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積が0になる。

すなわち、

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$

$$\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0$$

$$2x - y + 3z = 0$$

この方程式を満たす $x, y, z$ の組を1つ見つければよい。

例えば、$x = 1, y = 5$ とすると、

$$2(1) - 5 + 3z = 0$$

$$2 - 5 + 3z = 0$$

$$-3 + 3z = 0$$

$$3z = 3$$

$$z = 1$$

したがって、$\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ は $\vec{a}$ に垂直なベクトルの一つである。

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$