円周上に4点A, B, C, Dがあり、線分ABは円の中心Oを通る。∠ACB = 82°、∠ADB = 48°であるとき、∠AEB = x を求める問題です。

1. 問題の内容

円周上に4点A, B, C, Dがあり、線分ABは円の中心Oを通る。∠ACB = 82°、∠ADB = 48°であるとき、∠AEB = x を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、円周角の定理より、弧ABに対する円周角∠ACBと∠ADBを考えます。

∠ACB = 82°であり、∠ADB = 48°です。

次に、ABは円の直径であるため、∠AEBは、円周角の定理より、弧ABに対する円周角です。

従って、∠AEBは、∠AEB = xと表されます。

ここで、三角形の内角の和は180°であることを利用します。

三角形ADBにおいて、∠DAB = 180° - ∠ADB - ∠ABD　が成り立ちます。

同様に、三角形ACBにおいて、∠CAB = 180° - ∠ACB - ∠ABC　が成り立ちます。

ABが直径であるので、∠ACBと∠ADBは円周角であり、弧ABに対する中心角は180°です。

したがって、∠ACBと∠ADBに対する円周角は、中心角の半分であり、90°となります。

三角形AEBに着目すると、∠AEB = x です。

∠EAB = ∠DAB であり、∠EBA = ∠ABC です。

∠AEB = 180° - ∠EAB - ∠EBA

ここで、∠CAB + ∠DAB = 90°である。

また、∠CBA + ∠DBA = 90°である。

∠CAB = 180° - ∠ACB - ∠ABC = 180° - 82° - ∠ABC = 98° - ∠ABC

∠DAB = 180° - ∠ADB - ∠ABD = 180° - 48° - ∠ABD = 132° - ∠ABD

三角形ABCにおいて、$∠CAB + ∠ABC + ∠ACB = 180°$

$∠CAB + ∠ABC + 82° = 180°$

$∠CAB + ∠ABC = 98°$

三角形ABDにおいて、$∠DAB + ∠ABD + ∠ADB = 180°$

$∠DAB + ∠ABD + 48° = 180°$

$∠DAB + ∠ABD = 132°$

円周角の定理から、$∠AEB = ∠ADB + ∠ACB = x$ではない。

$x = ∠AEB$ を求めるために、三角形ABEに着目します。

$∠EAB = 90 - ∠ABC$

$∠EBA = 90 - ∠BAD$

$x = 180 - (90 - ∠ABC) - (90 - ∠BAD) = ∠ABC + ∠BAD$

$∠ACB = 82°$, $∠ADB = 48°$

四角形ACBDにおいて、対角の和は180°ではないので、円に内接しているわけではない。

円の中心Oから円周上の点C, Dに線を引くと、三角形AOCとBODは二等辺三角形となる。

∠CAB, ∠DBAを求める必要がある。

∠AEB = ∠CED （対頂角）なので、∠CEDを求めることを考える。

三角形CEDにおいて、∠ECD + ∠EDC + ∠CED = 180°

∠CED = 180° - ∠ECD - ∠EDC = 180° - 82° - 48° = 180° - 130° = 50°

したがって、x = 50°

3. 最終的な答え

50°