$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$, $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ のとき、次の値を求めよ。 (1) $x+y$ (2) $xy$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$, $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ のとき、次の値を求めよ。

(1) $x+y$

(2) $xy$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ を求める。

$x+y = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$

通分すると、

$x+y = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 + (\sqrt{7} - \sqrt{3})^2}{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})}$

分子を展開すると、

$(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 = 7 + 2\sqrt{21} + 3 = 10 + 2\sqrt{21}$

$(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 = 7 - 2\sqrt{21} + 3 = 10 - 2\sqrt{21}$

よって、$(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 + (\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 = 10 + 2\sqrt{21} + 10 - 2\sqrt{21} = 20$

分母は、 $(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3}) = 7 - 3 = 4$

したがって、$x+y = \frac{20}{4} = 5$

(2) $xy$ を求める。

$xy = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 5$

(2) $xy = 1$