$x = 2 - \sqrt{3}$のとき、次の2つの式の値を求めます。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

1. 問題の内容

$x = 2 - \sqrt{3}$のとき、次の2つの式の値を求めます。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $x + \frac{1}{x}$を計算します。まず、$\frac{1}{x}$を求めます。

$x = 2 - \sqrt{3}$なので、

$\frac{1}{x} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分子と分母に$2 + \sqrt{3}$を掛けます。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$

よって、$x + \frac{1}{x} = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$を計算します。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$

(1)より、$x + \frac{1}{x} = 4$なので、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (4)^2 - 2 = 16 - 2 = 14$

3. 最終的な答え

(1) $x + \frac{1}{x} = 4$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 14$