$x > 0$ のとき、$x + \frac{16}{x+2}$ の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、$x + \frac{16}{x+2}$ の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を変形して、相加相乗平均の不等式を利用できる形にします。

まず、$x+2$ を作るために、式を以下のように変形します。

$x + \frac{16}{x+2} = (x+2) + \frac{16}{x+2} - 2$

$x > 0$ より $x+2 > 2 > 0$ であるから、$x+2$ と $\frac{16}{x+2}$ は正の数です。よって、相加相乗平均の不等式が適用できます。

相加相乗平均の不等式より、

$\frac{(x+2) + \frac{16}{x+2}}{2} \geq \sqrt{(x+2) \cdot \frac{16}{x+2}} = \sqrt{16} = 4$

したがって、

$(x+2) + \frac{16}{x+2} \geq 8$

よって、

$x + \frac{16}{x+2} = (x+2) + \frac{16}{x+2} - 2 \geq 8 - 2 = 6$

等号成立は、$(x+2) = \frac{16}{x+2}$ のとき、つまり $(x+2)^2 = 16$ のときです。

$x+2 = \pm 4$ となりますが、$x > 0$ より、$x+2 = 4$ となり、$x = 2$ となります。

3. 最終的な答え

最小値は $6$ です。