与えられた式を因数分解します。ここでは以下の3つの問題を選んで解きます。 (1) $(x-4)(3x+1)+10$ (3) $ax^2+by^2-ay^2-bx^2$ (5) $(x^2-x)^2-8(x^2-x)+12$ (7) $4x^2-y^2+2y-1$

はい、承知いたしました。画像の3番の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解します。ここでは以下の3つの問題を選んで解きます。

(1) $(x-4)(3x+1)+10$

(3) $ax^2+by^2-ay^2-bx^2$

(5) $(x^2-x)^2-8(x^2-x)+12$

(7) $4x^2-y^2+2y-1$

2. 解き方の手順

(1) $(x-4)(3x+1)+10$

まず、式を展開します。

$3x^2 + x - 12x - 4 + 10 = 3x^2 - 11x + 6$

次に、因数分解します。積が $3 \cdot 6 = 18$、和が $-11$ となる2つの数を見つけます。

これは $-2$ と $-9$ です。

$3x^2 - 11x + 6 = 3x^2 - 2x - 9x + 6 = x(3x-2) - 3(3x-2) = (x-3)(3x-2)$

(3) $ax^2+by^2-ay^2-bx^2$

まず、$x^2$ と $y^2$ の項をそれぞれまとめます。

$ax^2 - bx^2 + by^2 - ay^2 = (a-b)x^2 + (b-a)y^2$

次に、$b-a = -(a-b)$ を利用して、共通因数 $(a-b)$ をくくり出します。

$(a-b)x^2 - (a-b)y^2 = (a-b)(x^2-y^2)$

さらに、$x^2 - y^2$ を因数分解します。

$(a-b)(x^2-y^2) = (a-b)(x+y)(x-y)$

(5) $(x^2-x)^2-8(x^2-x)+12$

$x^2-x=A$ と置換すると、

$A^2 -8A+12$

積が$12$，和が$-8$となる２数は $-2$と$-6$ なので、

$(A-2)(A-6)$

$A$をもとに戻して、

$(x^2-x-2)(x^2-x-6)$

さらに因数分解をして、

$(x-2)(x+1)(x-3)(x+2)$

(7) $4x^2-y^2+2y-1$

まず、後ろの3項をマイナスでくくり出します。

$4x^2 - (y^2 - 2y + 1) = 4x^2 - (y-1)^2$

これは $A^2 - B^2$ の形なので、和と差の積に因数分解できます。

$4x^2 - (y-1)^2 = (2x)^2 - (y-1)^2 = (2x + (y-1))(2x - (y-1)) = (2x+y-1)(2x-y+1)$

3. 最終的な答え

(1) $(x-3)(3x-2)$

(3) $(a-b)(x+y)(x-y)$

(5) $(x-2)(x+1)(x-3)(x+2)$

(7) $(2x+y-1)(2x-y+1)$