与えられた数の分母を有理化する問題です。 与えられた数は $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{7} + \sqrt{10}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数の分母を有理化する問題です。

与えられた数は $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{7} + \sqrt{10}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分母を$(\sqrt{3} + \sqrt{7}) + \sqrt{10}$ と見て、$(\sqrt{3} + \sqrt{7}) - \sqrt{10}$ を分母と分子にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{7} + \sqrt{10}} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{7}) - \sqrt{10}}{((\sqrt{3} + \sqrt{7}) + \sqrt{10})((\sqrt{3} + \sqrt{7}) - \sqrt{10})}$

分母を展開します。

$(\sqrt{3} + \sqrt{7})^2 - (\sqrt{10})^2 = 3 + 2\sqrt{21} + 7 - 10 = 2\sqrt{21}$

よって、

$\frac{(\sqrt{3} + \sqrt{7}) - \sqrt{10}}{2\sqrt{21}}$

さらに分母を有理化するために$\sqrt{21}$を分母と分子にかけます。

$\frac{(\sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{10})\sqrt{21}}{2\sqrt{21}\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{63} + \sqrt{147} - \sqrt{210}}{2 \cdot 21} = \frac{3\sqrt{7} + 7\sqrt{3} - \sqrt{210}}{42}$

3. 最終的な答え

$\frac{7\sqrt{3}+3\sqrt{7}-\sqrt{210}}{42}$