与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)(b+c)(c+a)$を展開します。

$(a+b)(b+c) = ab + ac + b^2 + bc$

$(ab+ac+b^2+bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc$

したがって、

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc + abc = a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

この式を因数分解することを考えます。式全体は $a, b, c$ について対称なので、$(a+b), (b+c), (c+a)$ のいずれかが因数として現れると予想できます。

ここで、$a+b$ が因数であると仮定すると、$a = -b$ を代入したときに式が 0 になるはずです。

$(-b)^2b + (-b)^2c + (-b)b^2 + (-b)c^2 + b^2c + bc^2 + 3(-b)bc = b^3 + b^2c - b^3 - bc^2 + b^2c + bc^2 - 3b^2c = -b^2c$

これは 0 ではないので、$a+b$ は因数ではありません。しかし、$a+b+c$ が因数となる可能性があります。

式を整理して $a$ についての多項式として見ます。

$a^2(b+c) + a(b^2 + 3bc + c^2) + (b^2c + bc^2) = a^2(b+c) + a(b^2 + 3bc + c^2) + bc(b+c)$

$(a+b+c)$が因数となるかどうかを試すために、$a=-(b+c)$を代入します。

$(-(b+c))^2 (b+c) + (-(b+c)) (b^2+3bc+c^2) + bc(b+c) = (b+c)^3 - (b+c)(b^2+3bc+c^2) + bc(b+c) = (b+c)[ (b+c)^2 - (b^2+3bc+c^2) + bc ] = (b+c)[b^2 + 2bc + c^2 - b^2 - 3bc - c^2 + bc] = (b+c)[0] = 0$

したがって、$(a+b+c)$が因数です。

$a^2(b+c) + a(b^2 + 3bc + c^2) + bc(b+c)$ を $(a+b+c)$ で割ることを考えます。

$a^2(b+c) + a(b^2 + 3bc + c^2) + bc(b+c) = (a+b+c)(a(b+c) + bc) = (a+b+c)(ab + ac + bc)$

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$