(1) $x = \sqrt{2} - 1$ を解とする2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の係数 $a, b$ を求める問題。ただし、$a, b$ は有理数である。 (2) $x = \sqrt{2} - 1$ のとき、$x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1$ の値を求める問題。

1. 問題の内容

(1) $x = \sqrt{2} - 1$ を解とする2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の係数 $a, b$ を求める問題。ただし、$a, b$ は有理数である。

(2) $x = \sqrt{2} - 1$ のとき、$x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $x = \sqrt{2} - 1$ より、$x + 1 = \sqrt{2}$。両辺を2乗すると、$(x+1)^2 = (\sqrt{2})^2$ となり、$x^2 + 2x + 1 = 2$。よって、$x^2 + 2x - 1 = 0$。

この方程式と、$x^2 + ax + b = 0$ を比較すると、$a = 2$, $b = -1$ である。

(2) (1)より、$x^2 + 2x - 1 = 0$ であるから、$x^2 = -2x + 1$。

まず、$x^3$ を求める。

$x^3 = x \cdot x^2 = x(-2x + 1) = -2x^2 + x = -2(-2x + 1) + x = 4x - 2 + x = 5x - 2$

次に、$x^4$ を求める。

$x^4 = x \cdot x^3 = x(5x - 2) = 5x^2 - 2x = 5(-2x + 1) - 2x = -10x + 5 - 2x = -12x + 5$

与えられた式に代入する。

$x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = (-12x + 5) + 4(5x - 2) + 3(-2x + 1) + 2x + 1$

$= -12x + 5 + 20x - 8 - 6x + 3 + 2x + 1$

$= (-12 + 20 - 6 + 2)x + (5 - 8 + 3 + 1)$

$= 4x + 1$

$x = \sqrt{2} - 1$ を代入すると、

$4x + 1 = 4(\sqrt{2} - 1) + 1 = 4\sqrt{2} - 4 + 1 = 4\sqrt{2} - 3$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$, $b = -1$

(2) $4\sqrt{2} - 3$