2つの自然数 $a, b$ ($a \le b$) があり、$ab$ に 1 を足すと $a+b$ の 2025 倍となる。すなわち、 $ab + 1 = 2025(a+b)$ この条件を満たす自然数の組 $(a, b)$ のうち、$ab$ が最小となるものを求める。

1. 問題の内容

2つの自然数 $a, b$ ($a \le b$) があり、$ab$ に 1 を足すと $a+b$ の 2025 倍となる。すなわち、

$ab + 1 = 2025(a+b)$

この条件を満たす自然数の組 $(a, b)$ のうち、$ab$ が最小となるものを求める。

2. 解き方の手順

与えられた条件式を変形する。

$ab + 1 = 2025(a+b)$

$ab - 2025a - 2025b + 1 = 0$

$ab - 2025a - 2025b + 2025^2 = 2025^2 - 1$

$(a - 2025)(b - 2025) = 2025^2 - 1 = (2025 - 1)(2025 + 1) = 2024 \cdot 2026$

$a \le b$ より、$a - 2025 \le b - 2025$ である。

$2024 \cdot 2026 = (2^3 \cdot 11 \cdot 23) \cdot (2 \cdot 1013) = 2^4 \cdot 11 \cdot 23 \cdot 1013$

$2024 \cdot 2026$ を2つの数の積で表すことを考える。$a - 2025$ と $b - 2025$ の値の組を求める。$ab$ が最小になるためには、$a$ と $b$ は近い値をとる方が良いと考えられる。

$2024 \cdot 2026$ を近い2つの数の積で表すことを考える。$\sqrt{2024 \cdot 2026} \approx 2025$ であるから、

$a-2025$ と $b-2025$ が近い値をとる場合を探索する。

$2024 \cdot 2026 = 2024 \cdot 2026$ のとき、$a = 2024+2025 = 4049$, $b = 2026+2025 = 4051$, $ab = 4049 \cdot 4051 = 16402999$.

$2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23$, $2026 = 2 \cdot 1013$

$44 \cdot 92054 = 2024 \cdot 2026$

$44 \cdot (2025+x) = 2024 * 2026$.

$44 \times x \rightarrow$ ?

$2024 \cdot 2026 = 4098584$

$a-2025 = x$, $b-2025 = y$, $xy = 4098584$

$a = 2025+x$, $b = 2025+y$

$ab = (2025+x)(2025+y) = 2025^2 + 2025(x+y) + xy = 2025^2 + 2025(x+y) + 4098584$.

$x+y$ が小さくなるように $x, y$ を選ぶ。

$2024 \cdot 2026$, $a = 4049, b = 4051$, $ab = 16402999$

$1 \cdot 4098584$, $a = 2026, b = 4100609$, $ab = 8295241434$

$2024 \times 2026 = (2^3\times 11 \times 23)(2\times 1013) = (16) \cdot 11 \cdot 23 \cdot 1013$.

$a-2025=16 \implies a = 2041$, $b-2025=\frac{4098584}{16}=256161.5$

これは整数ではない。

$1012 * 4050 = ...$

$2025^2 -1$.

$a-2025 < b-2025$.

$a-2025=1$, $b-2025=4098584$.

$a = 2026$, $b = 4100609$. $ab = 8295241434$.

$ab+1 = 8295241435$.

$2025(a+b) = 2025(2026+4100609) = 2025(4102635) = 8298085875$

異なる。

$(a-2025)(b-2025) = 2025^2 - 1$.

$2024 * 2026 = 4098584$.

$ab$ が最小となると予想される $a,b$ は $a=b$ に近い場合。

$2024 * 2026$ の平方根に近い整数 $2025$, と $2025$.

3. 最終的な答え

$a = 4049, b = 4051$.