問題3.1は、置換に関するいくつかの問題を解くことを求めています。具体的には、 * (1) いくつかの置換の積を計算する。 * (2) 置換を巡回置換の積に分解する。 * (3) 置換を互換の積に分解し、各置換の符号を求める。 * (4) $S_4$の元をすべて求め、偶置換と奇置換に分類する。 * (5) 与えられた置換 $\sigma$ と多項式 $f$ に対して、$\sigma f$ を求める。 ここでは、問題3.1の(1)から(3)までを解きます。

## 問題3.1の解答

1. **問題の内容**

問題3.1は、置換に関するいくつかの問題を解くことを求めています。具体的には、

* (1) いくつかの置換の積を計算する。

* (2) 置換を巡回置換の積に分解する。

* (3) 置換を互換の積に分解し、各置換の符号を求める。

* (4) $S_4$の元をすべて求め、偶置換と奇置換に分類する。

* (5) 与えられた置換 $\sigma$ と多項式 $f$ に対して、$\sigma f$ を求める。

ここでは、問題3.1の(1)から(3)までを解きます。

2. **解き方の手順**

(1) 置換の積の計算

置換の積は、右側の置換を先に行い、次に左側の置換を行うことで計算します。

(i)

$$$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 \\

3 & 1 & 2

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 \\

3 & 1 & 2

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 \\

2 & 3 & 1

\end{pmatrix}

$$$$

(ii)

$$$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

3 & 4 & 2 & 1

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

1 & 4 & 3 & 2

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

3 & 1 & 2 & 4

\end{pmatrix}

$$$$

(iii)

$(1\ 3)(2\ 3)(2\ 4) = (1\ 3)(2\ 4\ 3)$. まず、$(2\ 4)$によって2が4に、4が2に移ります。次に、$(2\ 3)$によって2が3に、3が2に移ります。したがって、全体としては2は3に移り、4は2に移るので、$(2\ 4)(2\ 3) = (2\ 3\ 4)$です。最後に$(1\ 3)$によって1が3に、3が1に移ります。これらをまとめると、1は3に、3は2に、2は4に、4は1に移ります。したがって、積は$(1\ 3\ 2\ 4)$となります。

(iv)

$(1\ 4)(2\ 3)(1\ 2\ 4\ 3)(2\ 3) = (1\ 4)(1\ 2\ 4\ 3) = (1\ 2\ 3\ 4)$

(2) 置換を巡回置換の積に分解

置換を巡回置換の積に分解するには、各要素がどのように移り変わるかを追跡します。

(i)

$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\

4 & 7 & 6 & 5 & 1 & 2 & 3

\end{pmatrix}

= (1\ 4\ 5)(2\ 7\ 3\ 6)

$

(ii)

$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\

3 & 1 & 5 & 8 & 2 & 4 & 6 & 7

\end{pmatrix}

= (1\ 3\ 5\ 2)(4\ 8\ 7\ 6)

$

(3) 置換を互換の積に分解し、符号を求める

置換を互換の積に分解するには、巡回置換を互換の積に分解し、それらを組み合わせます。巡回置換$(a_1\ a_2\ \dots\ a_k)$は、$(a_1\ a_2)(a_2\ a_3) \dots (a_{k-1}\ a_k)$のように互換の積に分解できます。互換の数は $k-1$ です。置換の符号は、互換の数が偶数なら1、奇数なら-1です。

(i)

$(1\ 3\ 6\ 4) = (1\ 3)(3\ 6)(6\ 4)$. 互換の数は3なので、符号は-1。

(ii)

$(1\ 2\ 5\ 3\ 4) = (1\ 2)(2\ 5)(5\ 3)(3\ 4)$. 互換の数は4なので、符号は1。

(iii)

$(2\ 4\ 6) = (2\ 4)(4\ 6)$. 互換の数は2なので、符号は1。

3. **最終的な答え**

(1) (i) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$, (ii) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$, (iii) $(1\ 3\ 2\ 4)$, (iv) $(1\ 2\ 3\ 4)$

(2) (i) $(1\ 4\ 5)(2\ 7\ 3\ 6)$, (ii) $(1\ 3\ 5\ 2)(4\ 8\ 7\ 6)$

(3) (i) $(1\ 3\ 6\ 4) = (1\ 3)(3\ 6)(6\ 4)$, 符号: -1, (ii) $(1\ 2\ 5\ 3\ 4) = (1\ 2)(2\ 5)(5\ 3)(3\ 4)$, 符号: 1, (iii) $(2\ 4\ 6) = (2\ 4)(4\ 6)$, 符号: 1