与えられた6つの二次関数について、グラフの軸と頂点を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの二次関数について、グラフの軸と頂点を求める問題です。

2. 解き方の手順

二次関数の式を平方完成の形に変形します。

平方完成された式は $y = a(x-p)^2 + q$ の形になり、このとき、頂点の座標は $(p, q)$ で、軸は $x = p$ となります。

(1) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3}(x^2 - 4x) + \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3}(x^2 - 4x + 4 - 4) + \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3}(x - 2)^2 - \frac{4}{3} + \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3}(x - 2)^2 + \frac{6}{3}$

$y = \frac{1}{3}(x - 2)^2 + 2$

(2) $y = 2x^2 - 3x - 2$

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) - 2$

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16}) - 2$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - 2(\frac{9}{16}) - 2$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} - \frac{16}{8}$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{25}{8}$

(3) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 4x)$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4 - 4)$

$y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 2$

(4) $y = (x - 1)(x - 2)$

$y = x^2 - 3x + 2$

$y = (x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) + 2$

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{8}{4}$

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}$

(5) $y = 2(x + 1)(x + 4)$

$y = 2(x^2 + 5x + 4)$

$y = 2x^2 + 10x + 8$

$y = 2(x^2 + 5x) + 8$

$y = 2(x^2 + 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4}) + 8$

$y = 2(x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{2} + \frac{16}{2}$

$y = 2(x + \frac{5}{2})^2 - \frac{9}{2}$

(6) $y = (2x + 1)(1 - x)$

$y = 2x - 2x^2 + 1 - x$

$y = -2x^2 + x + 1$

$y = -2(x^2 - \frac{1}{2}x) + 1$

$y = -2(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} - \frac{1}{16}) + 1$

$y = -2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{2}{16} + 1$

$y = -2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8} + \frac{8}{8}$

$y = -2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{9}{8}$

3. 最終的な答え

(1) 軸: $x = 2$, 頂点: $(2, 2)$

(2) 軸: $x = \frac{3}{4}$, 頂点: $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$

(3) 軸: $x = -2$, 頂点: $(-2, -2)$

(4) 軸: $x = \frac{3}{2}$, 頂点: $(\frac{3}{2}, -\frac{1}{4})$

(5) 軸: $x = -\frac{5}{2}$, 頂点: $(-\frac{5}{2}, -\frac{9}{2})$

(6) 軸: $x = \frac{1}{4}$, 頂点: $(\frac{1}{4}, \frac{9}{8})$