$k$ を実数とする。3次方程式 $x^3 - 3x^2 + 3 = k$ の解について考察する問題である。具体的には、$k=3$ のときの解を求め、$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ の増減を調べ、方程式が異なる3つの実数解を持つような $k$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

$k$ を実数とする。3次方程式 $x^3 - 3x^2 + 3 = k$ の解について考察する問題である。具体的には、$k=3$ のときの解を求め、$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ の増減を調べ、方程式が異なる3つの実数解を持つような $k$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $k=3$ のとき、$x^3 - 3x^2 + 3 = 3$ より $x^3 - 3x^2 = 0$ となる。因数分解すると $x^2(x-3) = 0$ となり、$x = 0, 3$ である。ただし、$0 < 3$ とする。よって、ア=0、イ=3。

(2) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ の導関数を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

よって、ウ=3, エ=6。

(3) $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, 2$ である。増減表は以下のようになる。

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

| :---- | :-: | :---- | :-: | :---- | :-: |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↑ | 極大値 | ↓ | 極小値 | ↑ |

$x=0$ で極大値をとり、$x=2$ で極小値をとる。よって、オ=0, カ=2。

(4) $y = f(x)$ と $y = k$ のグラフの交点の $x$ 座標が、方程式 $x^3 - 3x^2 + 3 = k$ の実数解となる。よって、キ=0。

(5) $f(0) = 3$ であり、$f(2) = 2^3 - 3(2^2) + 3 = 8 - 12 + 3 = -1$ である。異なる3つの実数解を持つためには、$y = k$ が極大値と極小値の間になければならない。

よって、$-1 < k < 3$ である。したがって、クケ=-1, コ=3。

3. 最終的な答え

ア=0

イ=3

ウ=3

エ=6

オ=0

カ=2

キ=0

クケ=-1

コ=3