$1 < a < 2$ を満たす定数 $a$ がある。連立不等式 $ \begin{cases} 2x - y - 2 \le 0 \\ x + y - 10 \ge 0 \\ ax - y - 2a + 4 \ [ \text{タ} \ ] 0 \end{cases} $ の表す領域 $D$ が三角形の周および内部であるとき、\[ \text{タ} \] に入る不等号の選択肢と、領域 $D$ を表す図 \[ \text{チ} \] を選択する問題。

1. 問題の内容

$1 < a < 2$ を満たす定数 $a$ がある。連立不等式

$$

\begin{cases}

2x - y - 2 \le 0 \\

x + y - 10 \ge 0 \\

ax - y - 2a + 4 \ [ \text{タ} \ ] 0

\end{cases}

$$

の表す領域 $D$ が三角形の周および内部であるとき、\[ \text{タ} \] に入る不等号の選択肢と、領域 $D$ を表す図 \[ \text{チ} \] を選択する問題。

2. 解き方の手順

まず、不等号 \[ \text{タ} \] を決定する。

$ax - y - 2a + 4$ の式を $y$ について解くと、 $y \ge ax - 2a + 4$ となる。

$2x - y - 2 \le 0$ より $y \ge 2x - 2$。

$x + y - 10 \ge 0$ より $y \ge -x + 10$。

これらの3つの不等式が表す領域が三角形となるためには、$ax - y - 2a + 4 \le 0$ 、つまり $y \ge ax - 2a + 4$ が必要となる。なぜなら、$y \le ax - 2a + 4$ は領域が閉じていないからである。

したがって、\[ \text{タ} \] には $\le$ が入る。

次に、領域を表す図\[ \text{チ} \]を選択する。

3つの不等式に対応する3つの直線は、$y = 2x - 2$, $y = -x + 10$, $y = ax - 2a + 4$ である。$1 < a < 2$ であるから、$2x - 2 < ax - 2a + 4 < 2x - 2$が常に成り立つとは限らない。

$y = ax - 2a + 4$ を点線で表していることから、$ax - y - 2a + 4 \le 0$ が点線で描かれていることがわかる。

まず、$y = 2x - 2$ と $y = -x + 10$ の交点を求める。

$2x - 2 = -x + 10$ より $3x = 12$ なので $x = 4$。

$y = 2(4) - 2 = 6$。したがって、交点は $(4, 6)$。

$y = 2x - 2$ と $y = ax - 2a + 4$ の交点を求める。

$2x - 2 = ax - 2a + 4$ より $(2 - a)x = 6 - 2a$ なので、$x = \frac{6 - 2a}{2 - a} = \frac{2(3 - a)}{2 - a}$。

$y = 2(\frac{6 - 2a}{2 - a}) - 2 = \frac{12 - 4a - 4 + 2a}{2 - a} = \frac{8 - 2a}{2 - a} = \frac{2(4 - a)}{2 - a}$。

$y = -x + 10$ と $y = ax - 2a + 4$ の交点を求める。

$-x + 10 = ax - 2a + 4$ より $(a + 1)x = 6 + 2a$ なので、$x = \frac{6 + 2a}{a + 1} = \frac{2(3 + a)}{a + 1}$。

$y = -\frac{6 + 2a}{a + 1} + 10 = \frac{-6 - 2a + 10a + 10}{a + 1} = \frac{8a + 4}{a + 1} = \frac{4(2a + 1)}{a + 1}$。

$1 < a < 2$のとき、$y \ge 2x - 2$, $y \ge -x + 10$, $ax - y - 2a + 4 \le 0$を満たす領域は、図の\[ \text{3} \]である。

3. 最終的な答え

タ：$\le$ (0)

チ：3