数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_{n+2} = 6a_{n+1} - 9a_n$ と初期条件 $a_1 = 1$, $a_2 = 6$ を満たすとき、以下の問題を解く。 (1) $b_n = a_{n+1} - 3a_n$ とおくとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_{n+2} = 6a_{n+1} - 9a_n$ と初期条件 $a_1 = 1$, $a_2 = 6$ を満たすとき、以下の問題を解く。

(1) $b_n = a_{n+1} - 3a_n$ とおくとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

まず、$b_{n+1}$ を計算する。

$b_{n+1} = a_{n+2} - 3a_{n+1}$

与えられた漸化式 $a_{n+2} = 6a_{n+1} - 9a_n$ を代入すると、

$b_{n+1} = (6a_{n+1} - 9a_n) - 3a_{n+1} = 3a_{n+1} - 9a_n = 3(a_{n+1} - 3a_n) = 3b_n$

これは数列 $\{b_n\}$ が公比3の等比数列であることを意味する。

$b_1 = a_2 - 3a_1 = 6 - 3(1) = 3$ であるから、

$b_n = b_1 \cdot 3^{n-1} = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

$b_n = a_{n+1} - 3a_n$ より、

$a_{n+1} = 3a_n + b_n = 3a_n + 3^n$

両辺を $3^{n+1}$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{a_n}{3^n} + \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{a_n}{3^n} + \frac{1}{3}$

ここで $c_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくと、

$c_{n+1} = c_n + \frac{1}{3}$ となり、数列 $\{c_n\}$ は公差 $1/3$ の等差数列である。

$c_1 = \frac{a_1}{3^1} = \frac{1}{3}$ より、

$c_n = c_1 + (n-1) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{n-1}{3} = \frac{n}{3}$

したがって、

$\frac{a_n}{3^n} = \frac{n}{3}$ より、

$a_n = \frac{n}{3} \cdot 3^n = n \cdot 3^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $b_n = 3^n$

(2) $a_n = n \cdot 3^{n-1}$