長方形の画用紙があり、横は縦より2cm長い。この画用紙の四隅から一辺が3cmの正方形を切り取り、ふたのない箱を作ったところ、その容積が45cm³になった。 (1) もとの縦の長さを$x$ cmとするとき、横の長さを表しなさい。 (2) もとの画用紙の縦の長さを求めなさい。

1. 問題の内容

長方形の画用紙があり、横は縦より2cm長い。この画用紙の四隅から一辺が3cmの正方形を切り取り、ふたのない箱を作ったところ、その容積が45cm³になった。

(1) もとの縦の長さを$x$ cmとするとき、横の長さを表しなさい。

(2) もとの画用紙の縦の長さを求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 横の長さは縦の長さより2cm長いので、縦の長さを$x$ cmとすると、横の長さは$(x+2)$ cmと表せる。

(2)

箱の底面の縦の長さは、もとの縦の長さから上下の3cmずつを切り取ったものなので、$x - 3 - 3 = x - 6$ cm。

箱の底面の横の長さは、もとの横の長さから左右の3cmずつを切り取ったものなので、$x + 2 - 3 - 3 = x - 4$ cm。

箱の高さは3cm。

箱の容積は、$(底面積) \times (高さ)$なので、

$(x-6)(x-4) \times 3 = 45$

$(x-6)(x-4) = 15$

$x^2 - 10x + 24 = 15$

$x^2 - 10x + 9 = 0$

$(x-1)(x-9) = 0$

$x = 1, 9$

$x=1$ のとき、底面の縦の長さは$1-6 = -5$ となり、負の数になるので不適。

したがって、$x=9$。

3. 最終的な答え

(1) $x+2$ cm

(2) 9 cm