与えられた選択肢の中から、正しいものを全て選ぶ問題です。 選択肢は以下の4つです。 (1) 無理数と無理数の差は常に無理数である。 (2) 有理数と有理数の差は常に有理数である。 (3) 無理数と無理数の商は常に無理数である。 (4) 有理数と無理数の商は常に無理数である。

1. 問題の内容

与えられた選択肢の中から、正しいものを全て選ぶ問題です。

選択肢は以下の4つです。

(1) 無理数と無理数の差は常に無理数である。

(2) 有理数と有理数の差は常に有理数である。

(3) 無理数と無理数の商は常に無理数である。

(4) 有理数と無理数の商は常に無理数である。

2. 解き方の手順

各選択肢について、正しいかどうかを検討します。

(1) 無理数と無理数の差は常に無理数である。

これは誤りです。例えば、$\sqrt{2}$は無理数ですが、$\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$は有理数です。

(2) 有理数と有理数の差は常に有理数である。

これは正しいです。有理数は分数$\frac{p}{q}$（$p,q$は整数、$q \neq 0$）で表せる数です。二つの有理数$\frac{p_1}{q_1}$と$\frac{p_2}{q_2}$の差は、$\frac{p_1}{q_1} - \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1q_2 - p_2q_1}{q_1q_2}$となり、これも有理数です。

(3) 無理数と無理数の商は常に無理数である。

これは誤りです。例えば、$\sqrt{2}$は無理数ですが、$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$は有理数です。

(4) 有理数と無理数の商は常に無理数である。

これは、分母が0でない場合、正しいです。有理数を$r$($r\ne 0$)、無理数を$x$とすると、$\frac{r}{x}$が有理数であると仮定すると、$\frac{r}{x} = q$ (qは有理数) となり、$x = \frac{r}{q}$ となります。$r$と$q$は有理数なので、$\frac{r}{q}$も有理数となり、$x$が無理数であることに矛盾します。したがって、$\frac{r}{x}$は無理数です。同様に、$\frac{x}{r}$も無理数です。

3. 最終的な答え

2と4