与えられた不等式 $2\sin^2\theta + 5\cos\theta - 4 > 0$ を解く問題です。

代数学三角関数不等式二次不等式三角関数の合成
2025/7/21

1. 問題の内容

与えられた不等式 2sin2θ+5cosθ4>02\sin^2\theta + 5\cos\theta - 4 > 0 を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、sin2θ\sin^2\thetacosθ\cos\theta で表します。三角関数の恒等式 sin2θ+cos2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 より、sin2θ=1cos2θ\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta です。これを不等式に代入します。
2(1cos2θ)+5cosθ4>02(1 - \cos^2\theta) + 5\cos\theta - 4 > 0
これを整理します。
22cos2θ+5cosθ4>02 - 2\cos^2\theta + 5\cos\theta - 4 > 0
2cos2θ+5cosθ2>0-2\cos^2\theta + 5\cos\theta - 2 > 0
両辺に 1-1 をかけて不等号の向きを変えます。
2cos2θ5cosθ+2<02\cos^2\theta - 5\cos\theta + 2 < 0
ここで、x=cosθx = \cos\theta とおくと、この不等式は
2x25x+2<02x^2 - 5x + 2 < 0
となります。この2次不等式を解きます。
まず、2x25x+2=02x^2 - 5x + 2 = 0 の解を求めます。因数分解すると
(2x1)(x2)=0(2x - 1)(x - 2) = 0
となるので、x=12x = \frac{1}{2} または x=2x = 2 です。
したがって、2次不等式 2x25x+2<02x^2 - 5x + 2 < 0 の解は 12<x<2\frac{1}{2} < x < 2 となります。
x=cosθx = \cos\theta なので、12<cosθ<2\frac{1}{2} < \cos\theta < 2 となります。
ただし、1cosθ1-1 \le \cos\theta \le 1 であるため、12<cosθ1\frac{1}{2} < \cos\theta \le 1 を満たす θ\theta を求めればよいです。
cosθ=12\cos\theta = \frac{1}{2} となるのは、θ=π3,5π3\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} です。
0θ<2π0 \le \theta < 2\pi の範囲で 12<cosθ1\frac{1}{2} < \cos\theta \le 1 を満たすθ\theta の範囲は、0θ<π30 \le \theta < \frac{\pi}{3}, 5π3<θ<2π\frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi です。

3. 最終的な答え

0θ<π30 \le \theta < \frac{\pi}{3}, 5π3<θ<2π\frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi

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