3次方程式 $(x-1)(x^2+ax+4) = 0$ が重解を持つときの $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $(x-1)(x^2+ax+4) = 0$ が重解を持つときの $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた3次方程式は $(x-1)(x^2+ax+4) = 0$ です。

この方程式が重解を持つのは、次のいずれかの場合です。

(i) $x^2+ax+4 = 0$ が $x=1$ を解に持つ場合：

$1^2 + a(1) + 4 = 0$ より、 $1 + a + 4 = 0$ なので、$a = -5$ となります。

このとき、$x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) = 0$ なので、解は $x=1, 4$ となり、方程式は $(x-1)^2(x-4) = 0$ となり、$x=1$ が重解となります。

(ii) $x^2+ax+4 = 0$ が重解を持つ場合：

$x^2+ax+4 = 0$ の判別式 $D = a^2 - 4(1)(4) = a^2 - 16$ が $0$ になればよいので、$a^2 - 16 = 0$ より $a = \pm 4$ となります。

* $a = 4$ のとき、$x^2+4x+4 = (x+2)^2 = 0$ なので、解は $x = -2$ (重解)。与式は $(x-1)(x+2)^2 = 0$ となり、$x=-2$ が重解となります。

* $a = -4$ のとき、$x^2-4x+4 = (x-2)^2 = 0$ なので、解は $x = 2$ (重解)。与式は $(x-1)(x-2)^2 = 0$ となり、$x=2$ が重解となります。

したがって、$a = -5, 4, -4$ が求める答えです。

3. 最終的な答え

$a = -5, 4, -4$